Bài ôn tập môn Toán Lớp 8

 A HÌNH HỌC
1. Tỉ số của hai đoạn thẳng
 Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.
 Tỉ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo.
2. Đoạn thẳng tỉ lệ
 Hai đoạn thẳng AB và CD đgl tỉ lệ với hai đoạn thẳng A B và C D nếu có tỉ lệ thức:
 AB A B AB CD
 hay 
 CD C D A B C D 
3. Định lí Ta-lét trong tam giác
 Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại 
 thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
 AB AC AB AC AB AC
 B C P BC ; ; 
 AB AC B B C C B B C C
4. Định lí Ta-lét đảo
 Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh đó 
 những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của 
 tam giác.
 AB AC 
 B C P BC
 B B C C
5. Hệ quả
 Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại 
 thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam 
 giác đã cho.
 AB AC B C 
 B C P BC 
 AB AC BC
 Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng song song với một cạnh 
 và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại.
 A A
 B’ C’ B C
 B C B’ C’
 C’ B’
 A
 B C
 VẤN ĐỀ I. Tính độ dài đoạn thẳng
Bài 1. Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. Qua G vẽ đường thẳng song song với cạnh 
 AC, cắt các cạnh AB, BC lần lượt ở D và E. Tính độ dài đoạn thẳng DE, biết 
 AD EC 16cm và chu vi tam giác ABC bằng 75cm.
 HD: Vẽ DN // BC DNCE là hbh DE = NC. DE = 18 cm.
Bài 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng song song hai đáy cắt cạnh AD 
 tại M, cắt cạnh BC tại N sao cho MD = 3MA. của cạnh CD. Chứng minh rằng hai đoạn thẳng DE và BF chia đường chéo AC 
 thành ba đoạn bằng nhau.
 HD: Gọi M, N lần lượt là giao điểm của DE và BF với AC. Chứng minh: AM = MN 
 = NC. 
Bài 9. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Vẽ đường thẳng song song với cạnh AB, cắt 
 DM CN m
 cạnh AD ở M, cắt cạnh BC ở N. Biết rằng . Chứng minh rằng: 
 MA NB n
 mAB nCD
 MN .
 m n
 HD: Gọi E là giao điểm của MN với AC. Tính được 
 m n
 EN AB,ME CD . 
 m n m n
Bài 10.Cho tứ giác ABCD có các góc B và D là góc vuông. Từ một điểm M trên đường 
 MN MP
 chéo AC, vẽ MN  BC, MP  AD. Chứng minh: 1.
 AB CD
 MN MP
 HD: Tính riêng từng tỉ số ; , rồi cộng lại.
 AB CD
Bài 11.Cho hình bình hành ABCD. Một cát tuyến qua D, cắt đường chéo AC ở I và cắt 
 cạnh BC ở N, cắt đường thẳng AB ở M.
 a) Chứng minh rằng tích AM.CN không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến qua D.
 b) Chứng minh hệ thức: ID2 IM.IN .
Bài 12.Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm B , C . 
 S AB AC
 Chứng minh: ABC . .
 SAB C AB AC 
 AC CH
 HD: Vẽ các đường cao CH và C H .
 AC C H 
Bài 13.Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, BC, CD lấy lần lượt các điểm D, E, F sao 
 1 1 1
 cho AD AB , BE BC , CF CA . Tính diện tích tam giác DEF, biết rằng 
 4 4 4
 diện tích tam giác ABC bằng a2(cm2) .
 3 7
 HD: S S S S S a2(cm2).
 BED CEF ADF 16 ABC DEF 16
 AK 1
Bài 14.Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho . Trên cạnh BC 
 BK 2
 CL 2
 lấy điểm L sao cho . Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AL và CK. 
 BL 1
 Tính diện tích tam giác ABC, biết diện tích tam giác BQC bằng a2(cm2) .
 SBLQ SCLQ 4 7 7 2 2
 HD: Vẽ LM // CK. SABC SBQC a (cm ).
 SBLA SCLA 7 4 4
Bài 15.Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy lần lượt các điểm D, E, F sao AE AF
 HD: a) Chứng minh b) Dùng kết quả câu a) cho đoạn GH.
 AB AD
 B ĐẠI SỐ
 MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH
 VẤN ĐỀ I. Chứng minh một số là nghiệm của một phương trình
Phương pháp: Dùng mệnh đề sau:
 x0 là nghiệm của phương trình A(x) B(x) A(x0) B(x0)
 x0 không là nghiệm của phương trình A(x) B(x) A(x0) B(x0)
Bài 17.Xét xem x0 có là nghiệm của phương trình hay không?
 3
 a) 3(2 x) 1 4 2x ; x 2 b) 5x 2 3x 1; x 
 0 0 2
 c) 3x 5 5x 1; x0 2 d) 2(x 4) 3 x ; x0 2
 e) 7 3x x 5 ; x0 4 f) 2(x 1) 3x 8 ; x0 2
 g) 5x (x 1) 7; x0 1 h) 3x 2 2x 1; x0 3
Bài 18.Xét xem x0 có là nghiệm của phương trình hay không?
 2 2
 a) x 3x 7 1 2x ; x0 2 b) x 3x 10 0 ; x0 2
 2
 c) x 3x 4 2(x 1) ; x0 2 d) (x 1)(x 2)(x 5) 0 ;
 x0 1
 2 2
 e) 2x 3x 1 0 ; x0 1 f) 4x 3x 2x 1; x0 5
Bài 19.Tìm giá trị k sao cho phương trình có nghiệm x0 được chỉ ra:
 a) 2x k x –1; x0 2 b) (2x 1)(9x 2k) –5(x 2) 40 ;
 x0 2
 c) 2(2x 1) 18 3(x 2)(2x k) ; x0 1 d) 5(k 3x)(x 1) – 4(1 2x) 80 ;
 x0 2
 ẤN ĐỀ II. Số nghiệm của một phương trình
Phương pháp: Dùng mệnh đề sau:
 Phương trình A(x) B(x) vô nghiệm A(x) B(x),x
 Phương trình A(x) B(x) có vô số nghiệm A(x) B(x),x
Bài 1. Chứng tỏ các phương trình sau vô nghiệm:
 a) 2x 5 4(x 1) 2(x 3) b) 2x 3 2(x 3)
 c) x 2 1 d) x2 4x 6 0
Bài 2. Chứng tỏ rằng các phương trình sau có vô số nghiệm: a) (3x 1)(x 3) (2 x)(5 3x) b) (x 5)(2x 1) (2x 3)(x 1)
 c) (x 1)(x 9) (x 3)(x 5) d) (3x 5)(2x 1) (6x 2)(x 3)
 e) (x 2)2 2(x 4) (x 4)(x 2) f) 
 (x 1)(2x 3) 3(x 2) 2(x 1)2
 13 1 1
 ĐS: a) x b) x c) x 3 d) x e) x 1 f) vô 
 19 5 33
 nghiệm
Bài 3. Giải các phương trình sau:
 a) (3x 2)2 (3x 2)2 5x 38 b) 3(x 2)2 9(x 1) 3(x2 x 3)
 c) (x 3)2 (x 3)2 6x 18 d) 
 (x –1)3 – x(x 1)2 5x(2 – x) –11(x 2)
 e) (x 1)(x2 x 1) 2x x(x 1)(x 1) f) (x –2)3 (3x –1)(3x 1) (x 1)3
 ĐS: a) x 2 b) x 2 c) x 3 d) x 7 e) x 1 f) 
 10
 x 
 9
Bài 4. Giải các phương trình sau:
 x 5x 15x x 8x 3 3x 2 2x 1 x 3
 a) 5 b) 
 3 6 12 4 4 2 2 4
 x 1 x 1 2x 13 3(3 x) 2(5 x) 1 x
 c) 0 d) 2
 2 15 6 8 3 2
 3(5x 2) 7x x 5 3 2x 7 x
 e) 2 5(x 7) f) x 
 4 3 2 4 6
 x 3 x 1 x 7 3x 0,4 1,5 2x x 0,5
 g) 1 h) 
 11 3 9 2 3 5
 30
 ĐS: a) x b) x 0 c) x 16 d) x 11 e) x 6 f) 
 7
 53
 x 
 10
 28 6
 g) x h) x 
 31 19
Bài 5. Giải các phương trình sau:
 2x 1 x 2 x 7 x 3 x 1 x 5
 a) b) 1
 5 3 15 2 3 6
 2(x 5) x 12 5(x 2) x
 c) 11 d) 
 3 2 6 3
 x 4 3x 2 2x 5 7x 2
 x 
 5 10 3 6 x 6 x 8 x 10 x 12
 c) d) 
 1999 1997 1995 1993
 1909 x 1907 x 1905 x 1903 x
 4 0
 91 93 95 91
 x 29 x 27 x 25 x 23 x 21 x 19
 e) 
 1970 1972 1974 1976 1978 1980
 x 1970 x 1972 x 1974 x 1976 x 1978 x 1980
 29 27 25 23 21 19
 ĐS: a) x 66 b) x 60 c) x 2005 d) x 2000 e) x 1999 . 
 VẤN ĐỀ II. Phương trình tích
 Để giải phương trình tích, ta áp dụng công thức:
 A(x) 0
 A(x).B(x) A(x) 0 hoặc B(x) 0 
 B(x) 0
 Ta giải hai phương trình A(x) 0 và B(x) 0, rồi lấy tất cả các nghiệm của 
 chúng.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
 a) (5x 4)(4x 6) 0 b) (3,5x 7)(2,1x 6,3) 0
 c) (4x 10)(24 5x) 0 d) (x 3)(2x 1) 0
 e) (5x 10)(8 2x) 0 f) (9 3x)(15 3x) 0
 4 3 5 5
 ĐS: a) x ; x b) x 2; x 3 c) x ; x d) 
 5 2 2 24
 1
 x 3; x 
 2
 e) x 2; x 4 f) x 3; x 5
Bài 2. Giải các phương trình sau:
 a) (2x 1)(x2 2) 0 b) (x2 4)(7x 3) 0
 c) (x2 x 1)(6 2x) 0 d) (8x 4)(x2 2x 2) 0
 1 3 1
 ĐS: a) x b) x c) x 3 d) x 
 2 7 2
Bài 3. Giải các phương trình sau:
 a) (x 5)(3 2x)(3x 4) 0 b) (2x 1)(3x 2)(5 x) 0
 c) (2x 1)(x 3)(x 7) 0 d) (3 2x)(6x 4)(5 8x) 0
 e) (x 1)(x 3)(x 5)(x 6) 0 f) (2x 1)(3x 2)(5x 8)(2x 1) 0
 3 4 1 2  1 
 ĐS: a) S 5; ;  b) S ; ; 5 c) S ;3; 7 d) 
 2 3 2 3  2 
 3 2 5
 S ; ; 
 2 3 8 Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
 Bước 2: Qui đồng mẫu hai vế của phương trình, rồi khử mẫu.
 Bước 3: Giải phương trình vừa nhân được.
 Bước 4: (Kết luận) Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thoả mãn 
 điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
 4x 3 29 2x 1 4x 5 x
 a) b) 2 c) 2 
 x 5 3 5 3x x 1 x 1
 7 3 2x 5 x
 d) e) 0 f) 
 x 2 x 5 2x x 5
 12x 1 10x 4 20x 17
 11x 4 9 18
 136 11 41
 ĐS: a) x b) x c) x 3 d) x 
 17 8 4
 5
 e) x f) x 2
 3
Bài 2. Giải các phương trình sau:
 11 9 2 14 2 x 3 5
 a) b) 
 x x 1 x 4 3x 12 x 4 8 2x 6
 12 1 3x 1 3x x 5 x 25 x 5
 c) d) 
 1 9x2 1 3x 1 3x x2 5x 2x2 50 2x2 10x
 x 1 x 1 16 x 1 x 1 x 1
 e) f) 1 (x 2) 
 x 1 x 1 x2 1 x 1 x 1 x 1
 ĐS: a) x 44 b) x 5 c) x 1 d) vô nghiệm
 e) x 4 f) x 3 
Bài 3. Giải các phương trình sau:
 6x 1 5 3 2 x 1 x 4
 a) b) 0
 x2 7x 10 x 2 x 5 x2 4 x(x 2) x(x 2)
 1 1 x (x 1)2 1 6 5
 c) d) 
 3 x x 1 x 3 x2 2x 3 x 2 x 3 6 x2 x
 2 2x2 16 5 x 1 x 1 2(x 2)2
 e) f) 
 x 2 x3 8 x2 2x 4 x2 x 1 x2 x 1 x6 1
 9 3
 ĐS: a) x b) vô nghiệm c) x d) x 4
 4 5
 5
 e) vô nghiệm f) x 
 4
Bài 4. Giải các phương trình sau:
 8 11 9 10 x x x x
 a) b) 
 x 8 x 11 x 9 x 10 x 3 x 5 x 4 x 6