Bài ôn tập môn Toán Lớp 9

 A. HÌNH HỌC
 I. GÓC Ở TÂM. SỐ ĐO CUNG
1. Góc ở tâm
 Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn đgl góc ở tâm.
 Nếu 00 1800 thì cung nằm bên trong góc đgl cung nhỏ, cung nằm bên 
 ngoài góc đgl cung lớn. 
 Nếu 1800 thì mỗi cung là một nửa đường tròn. 
 Cung nằm bên trong góc đgl cung bị chắn. Góc bẹt chắn nửa đường tròn.
 Ki hiệu cung AB là »AB .
2. Số đo cung
 Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ»AB .
 Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
 Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo của cung nhỏ (có chung 2 mút 
 với cung lớn).
 Số đo của nửa đường tròn bằng 1800 . Cung cả đường tròn có số đo 3600 .
 Cung không có số đo 00 (cung có 2 mút trùng nhau). 
3. So sánh hai cung
 Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
 Hai cung đgl bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
 Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn đgl cung lớn hơn.
4. Định lí
 Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì sđ»AB = sđ»AC + sđ»CB .
Bài 1. Cho đường tròn (O; R). Vẽ dây AB R 2 . Tính số đo của hai cung AB. ĐS: 
 900;2700 .
 1
Bài 2. Cho đường tròn (O; R). Vẽ dây AB sao cho số đo của cung nhỏ AB bằng số đo 
 2
 R2 3
 của cung lớn AB. Tính diện tích của tam giác AOB. ĐS: S .
 4
 R 3 
Bài 3. Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và O; . Trên đường tròn nhỏ lấy một 
 2 
 điểm M. Tiếp tuyến tại M của đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn tại A và B. Tia 
 OM cắt đường tròn lớn tại C.
 a) Chứng minh rằng »CA »CB . b) Tính số đo của hai cung AB. HD: b) 
 600;3000 .
Bài 4. Cho (O; 5cm) và điểm M sao cho OM = 10cm. Vẽ hai tiếp tuyến MA và MB. 
 Tính góc ở tâm do hai tia OA và OB tạo ra. HD: 1200 . AB
 b) Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến dây AB là .
 2
Bài 6. Trên đường tròn (O) vẽ hai cung AB và CD thỏa: A»B 2C»D . Chứng minh: AB < 
 2.CD.
 III. GÓC NỘI TIẾP
1. Định nghĩa
 Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của 
 đường tròn đó.
 Cung nằm bên trong góc đgl cung bị chắn.
2. Định lí
 Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
3. Hệ quả
 Trong một đường tròn:
 a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
 b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng 
 nhau.
 c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900 ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm 
 cùng chắn một cung.
 d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
Bài 1. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và dây AC căng cung AC có số đo bằng 
 600 .
 a) So sánh các góc của tam giác ABC.
 b) Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung AC và BC. Hai dây AN và 
 BM cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tia CI là tia phân giác của góc ACB.
 HD: a) µB 300 µA 600 µC 900
 b) Chứng minh các tia AN, BM là các tia phân giác của các góc A và B.
Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A (µA 900 ). Vẽ đường tròn đường kính AB cắt BC tại 
 D, cắt AC tại E. Chứng minh rằng:
 1
 a) Tam giác DBE cân. b) ·CBE ·BAC . HD: a) »DB »DE DB DE b) 
 2
 ·CBE ·DAE .
Bài 3. Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Vẽ đường kính MN 
  BC (điểm M thuộc cung BC không chứa A). Chứng minh rằng các tia AM, AN 
 lần lượt là các tia phân giác trong và ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC. HD: 
 MN  BC ¼MB ¼MC .
Bài 4. Cho đường tròn (O) và hai dây MA, MB vuông góc với nhau. Gọi I, K lần lượt là 
 điểm chính giữa của các cung nhỏ MA và MB. Gọi P là giao điểm của AK và BI.
 a) Chứng minh rằng ba điểm A, O, B thẳng hàng.
 b) Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB. Bài 10.Cho tam giác ABC cân tại A và có góc A bằng 500 . Nửa đường tròn đường kính 
 AC cắt AB tại D và BC tại H. Tính số đo các cung AD, DH và HC.
Bài 11.Cho đường tròn (O) có đường kính AB vuông góc dây cung CD tại E. Chứng 
 minh rằng: CD2 4AE.BE . 
 IV. GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
1. Định lí
 Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
2. Hệ quả
 Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng 
 chắn một cung thì bằng nhau.
3. Định lí (bổ sung)
 Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có số 
 đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì 
 cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn.
Bài 1. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm M. 
 Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của C trên AB.
 a) Chứng minh rằng tia CA là tia phân giác của góc MCH.
 b) Giả sử MA = a, MC = 2a. Tính AB và CH theo a. HD: a) ·ACH ·ACM µB
 b) Chứng minh MA.MB MC2 MB 4a , AB 3a . MC.OC = CH.OM 
 6
 CH a .
 5
Bài 2. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp 
 điểm của đường tròn trên các cạnh AB, BC, CA. Gọi M, N, P lần lượt là các giao 
 điểm của đường tròn (O) với các ti OA, OB, OC. Chứng minh rằng các điểm M, 
 N, P lần lượt là tâm của đường tròn nội tiếp các tam giác ADF, BDE và CEF. 
 HD: Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
Bài 3. Cho hai đường tròn (O) và (O ) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng tiếp xúc với 
 đường tròn (O) tại C và tiếp xúc với đường tròn (O ) tại D. Vẽ đường tròn (I) qua 
 ba điểm A, C, D, cắt đường thẳng AB tại một điểm thứ hai là E. Chứng minh 
 rằng:
 a) ·CAD ·CBD 1800 . b) Tứ giác BCED là hình bình hành.
 HD: a) Chứng minh ·BAC ·BCD , ·BAD ·BDC 
 ·CAD ·CBD ·BCD ·BDC ·CBD 1800
 b) Chứng minh ·BCD ·EDC ( ·BAC) , ·ECD ·BDC ( ·BAD) BC // DE, BD // 
 CE.
Bài 4. Trên một cạnh của góc ·xMy lấy điểm T, trên cạnh kia lấy hai điểm A, B sao cho 
 MT 2 MA.MB . Chứng minh rằng MT là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp 
 tam giác TAB. 3x 2y 2 2x y 5 10x 9y 1
 a) b) c) 
 x 4y 3 x y 1 15x 21y 36
 3x 2 y 8
 d) 
 y 2x 5
 x my 4
Bài 6 : Cho hệ phương trình 
 nx y 3
 a/ Tìm m, n để hệ phương trình có nghiệm : (x ; y) = (–2 ; 3)
 b/ Tìm m, n để hệ phương trình có vô số nghiệm.
Bài 7 : Một hình chữ nhật có chu vi 110m. Hai lần chiều dài hơn ba lần chiều rộng 
là 10m. Tính diện tích hình chữ nhật.
Bài 8 : Một người đi xe đạp đự định đi hết quãng đường AB với vận tốc 10 km/h. 
Sau khi đi dược nửa quãng đường với vận tốc dự định người ấy nghỉ 30 phút. Vì 
muốn đến được điểm B kịp giờ nên người với vận tốc 15 km/h trên quãng đường 
còn lại. Tính quãng đường AB.
Bài 9 : Hai ng­êi cïng lµm mét c«ng viÖc trong 7 giê 12 phót th× xong c«ng viÖc. 
NÕu ng­êi thø nhÊt lµm trong 4 giê ng­êi thø hai lµm trong 3 giê th× ®ù¬c 50% 
c«ng viÖc. Hái mçi ng­êi lµm mét m×nh trong mÊy giê th× xong c«ng viÖc ?
 2x 3y m
Bµi 10 : Cho hệ phương tr×nh: . T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x 
 25x 3y 3
> 0 ; y < 0.
Bµi 11 : Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh :
 x 2
 x y 2 x + 2y = 11 
a) b) c) y 3
 2x 3y 9 5x 3y = 3 
 x + y 10 = 0
 3x y 5
 d) 
 2x 3y 18
 2 3 1
 x + 2y = 11 3 x y y 11 2x y x 2y 2
e) f) g) 
 5x 3y = 3 x 2 x 5y 15 2 1 1
 2x y x 2y 18
 x y 2
 3
 3 3
 h) 
 4x y x
 1
 6 4
Bài 12 : Một đoàn xe vận tải có 15 xe tải lớn và 4 xe tải nhỏ tất cả chở 178 tấn 
hàng. Biết mỗi xe tải lớn chở nhiều hơn xe tải nhỏ là 3 tấn. Tính số tấn hàng mỗi 
xe tải từng loại đã chở ? Bài 26 : Tìm các giá trị của m để ba đường thẳng sau đồng quy tại một điểm trong 
mặt phẳng tọa độ :
 a) 3x + 2y = 5 ; 2x – y = 4 và mx + 7y = 11
 b) y = 2x + 3 ; y = x + 4 ; y = (3 – 5m)x – 5m
 c) 3x + y = 5 ; 2x + y = –4 và (4m – 1)x + y = –1
Bài 27 : Tìm m và n để (d) : y = (2b – a) x – 3(a + 5b), đi qua hai điểm :
 a) (2 ; 4) ; (–1 ; 3)
 b) (2 ; 1) ; (1 ; –2) 
Bài 28 : Tìm a và b biết rằng phương trình ax2 – 2bx + 3 = 0 có tập nghiệm S = {–
2 ; 1}
 x y 3
Bài 29 : Cho hệ phương trình : 
 mx y 2m
 Xác định m để hệ phương trình có một nghiệm ? Vô nghiệm ? Vô số nghiệm ?
 mx y 1
Bài 30 : T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ phư¬ng tr×nh 3 2 , v« nghiÖm, 
 m x m 1 y 2
v« sè nghiÖm.
 x y 1
Bài 31 : Cho hệ phương trình : (I)
 2x y m 1
 a) Giải hệ phương trình (I)
 b) Tìm m để x, y là số nguyên.
Bài 32 : Cho các đường thẳng : y = x – 2 (d1)
 y = 2x – 4 (d2)
 y = mx + (m + 2) (d3)
 a. T×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®ưêng th¼ng (d3 ) lu«n ®i qua víi mäi gi¸ trÞ cña m.
 b. T×m m ®Ó ba ®ường th¼ng (d1) ; (d2) ; (d3) ®ång quy.
Bài 33 : Giải hệ phương trình sau : 
 x 12 y 9 a b b c a c
 z 1 
a) 4 3 b) 6 7 8
 3x 5y z 2 a b c 14
 x y z 9 x y 2
 2
 1 1 1 x y 5
c) 1 d) 
 x y z 5x y 7
 3
 xy yz zx 27 2x y 2
 x y 2
 3
 x y 7 3 3
e) f) 
 x3 y3 133 4x y x
 1
 6 4 2x 3y 11 3x 2y 1 2x 5y 2
 e) f) g) 
 4x 6y 5 2x y 3 6x 15y 6
 1 1
 2
 x 2 y 1
Bài 39 : §Æt Èn phô råi gi¶i c¸c hÖ phư¬ng tr×nh sau : 
 2 3
 1
 x 2 y 1
Bµi 40 : Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh sau :
 2x y 3 2x 3y 3
 a) b) c) 
 x y 2 2x 3y 2
 4x 2y 3
 x 4y 2
 3 6
 1
 x 5y 5 2x 1 3 y
 d) e) f) 
 1 1
 3x y 3 0
 2x 1 3 y
 13x 15y 48
 2x y 29
Bµi 41 : X¸c ®Þnh a, b ®Ó ®­êng th¼ng y = ax + b ®i qua hai ®iÓm :
 a/ A(–1 ; 3) vµ B(–1 ; –4)
 b/ M(1 ; 2) vµ N(–1 ; –4)
Bµi 42 :
 a) Cho A(2 ; 4) vµ B(5 ; 2). T×m trªn trôc hoµnh ®iÓm M sao cho tæng kho¶ng 
c¸ch tõ M tíi A vµ B lµ nhá nhÊt.
 b) Cho A(–6 ; –2) vµ B (–3 ; –4). T×m trªn trôc hoµnh ®iÓm M sao cho tæng 
kho¶ng c¸ch tõ M tíi A vµ B lµ nhá nhÊt.
 m2 p2 384
Bµi 43 : BiÕt hai sè tù nhiªn m vµ p tho¶ m·n 
 m p 8
 a) TÝnh m + p.
 b) TÝnh m vµ p.
Bµi 44 : Hai c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng h¬n kÐm nhau 2 cm. NÕu 
gi¶m c¹nh lín ®i 4 cm vµ t¨ng c¹nh nhá lªn 6 cm th× diÖn tÝch kh«ng ®æi. TÝnh 
diÖn tÝch cña tam gi¸c vu«ng.
Bµi 45 : Hai ca n« cïng khëi hµnh tõ hai bÕn A vµ B c¸ch nhau 170 km vµ ®i ng­îc 
chiÒu nhau. Sau 3 giê 20 phót th× hai ca n« gÆp nhau. TÝnh vËn tèc riªng cña mçi 
ca n«, biÕt vËn tèc ca n« xu«i dßng lín h¬n vËn tèc cña ca n« ®i ng­îc dßng lµ 9 
km/h vµ vËn tèc dßng n­íc lµ 3km/h.