Bài tập Hình học 8 - Chương III: Tam giác đồng dạng

 Hình học 8
 CHƯƠNG III: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
 I. ĐỊNH LÍ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC – TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC
1. Tỉ số của hai đoạn thẳng
 Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.
 Tỉ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo.
2. Đoạn thẳng tỉ lệ
 Hai đoạn thẳng AB và CD đgl tỉ lệ với hai đoạn thẳng A B và C D nếu có tỉ lệ thức:
 AB A B AB CD
 hay 
 CD C D A B C D 
3. Định lí Ta-lét trong tam giác
 Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên 
 hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
 AB AC AB AC AB AC
 B C P BC ; ; 
 AB AC B B C C B B C C
4. Định lí Ta-lét đảo
 Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng 
 tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
 AB AC 
 B C P BC
 B B C C
5. Hệ quả
 Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành 
 một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
 AB AC B C 
 B C P BC 
 AB AC BC
 Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng song song với một cạnh và cắt phần kéo dài 
 của hai cạnh còn lại.
 A A
 C’ B’
 A
 B’ C’ B C
 B C B’ C’ B C
6. Tính chất đường phân giác trong tam giác
 Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai 
 DB AB EB
 cạnh kề hai đoạn ấy. AD, AE là các phân giác trong và ngoài của góc ·BAC 
 DC AC EC
7. Nhắc lại một số tính chất của tỉ lệ thức
 ad bc
 a b
 a c c d
 a b c d
 b d 
 b d
 a c a c a c
 b d b d b d
 VẤN ĐỀ I. Tính độ dài đoạn thẳng
Bài 1. Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. Qua G vẽ đường thẳng song song với cạnh AC, cắt các cạnh AB, 
 BC lần lượt ở D và E. Tính độ dài đoạn thẳng DE, biết AD EC 16cm và chu vi tam giác ABC 
 bằng 75cm.
 HD: Vẽ DN // BC DNCE là hbh DE = NC. DE = 18 cm.
Bài 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng song song hai đáy cắt cạnh AD tại M, cắt cạnh BC 
 Trang 21 Hình học 8
 S AB AC AC CH
 Chứng minh: ABC . . HD: Vẽ các đường cao CH và C H .
 SAB C AB AC AC C H 
 1
Bài 13.Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, BC, CD lấy lần lượt các điểm D, E, F sao cho AD AB , 
 4
 1 1
 BE BC, CF CA. Tính diện tích tam giác DEF, biết rằng diện tích tam giác ABC bằng a2(cm2) .
 4 4
 3 7
 HD: S S S S S a2(cm2).
 BED CEF ADF 16 ABC DEF 16
 AK 1
Bài 14.Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho . Trên cạnh BC lấy điểm L sao cho 
 BK 2
 CL 2
 . Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AL và CK. Tính diện tích tam giác ABC, biết diện 
 BL 1
 tích tam giác BQC bằng a2(cm2) .
 SBLQ SCLQ 4 7 7 2 2
 HD: Vẽ LM // CK. SABC SBQC a (cm ).
 SBLA SCLA 7 4 4
 VẤN ĐỀ II. Chứng minh hai đường thẳng song song
Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB // CD), M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K 
 là giao điểm của BM và AC.
 a) Chứng minh IK // AB.
 b) Đường thẳng IK cắt AD, BC lần lượt ở E và F. Chứng minh EI = IK = KF.
 MI MK
 HD: a) Chứng minh IK P AB .
 IA KB
Bài 2. Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD. Từ D, vẽ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt AC tại M 
 và AB tại K. Từ C, vẽ đường thẳng song song với cạnh bên AD, cắt cạnh đáy AB tại F. Qua F, vẽ 
 đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt cạnh bên BC tại P. Chứng minh rằng:
 a) MP song song với AB.
 b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng qui.
 HD: b) Gọi I là giao điểm của DB với CF. Chứng minh P, I, M thẳng hàng.
Bài 3. Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Đường thẳng song song với BC 
 qua O, cắt AB ở E và đường thẳng song song với CD qua O, cắt AD ở F.
 a) Chứng minh đường thẳng EF song song với đường chéo BD.
 b) Từ O vẽ các đường thẳng song song với AB và AD, cắt BC và DC lần lượt tại G và H. Chứng minh 
 hệ thức: CG.DH = BG.CH.
 AE AF
 HD: a) Chứng minh b) Dùng kết quả câu a) cho đoạn GH.
 AB AD
 VẤN ĐỀ III. Tính chất đường phân giác của tam giác
 AK 3
Bài 1. Cho tam giác ABC cân ở A, BC = 8cm, phân giác của góc B cắt đường cao AH ở K, .
 AH 5
 a) Tính độ dài AB.
 b) Đường thẳng vuông góc với BK cắt AH ở E. Tính EH.
 HD: a) AB = 6cm b) EH = 8,94 cm.
Bài 2. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n; AD là đường phân giác trong của góc A. 
 S m
 Tính tỉ số diện tích của tam giác ABD và tam giác ACD. HD: ABD .
 SACD n
Bài 3. Cho tam giác ABC cân ở A, phân giác trong BD, BC = 10cm, AB = 15cm.
 a) Tính AD, DC.
 b) Đường phân giác ngoài của góc B của tam giác ABC cắt đường thẳng AC tại D . Tính D C.
 Trang 23 Hình học 8
3. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
 Trường hợp 1: Nếu tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì 
 hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.
 Trường hợp 2: Nếu tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam 
 giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.
 Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền 
 và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.
4. Tính chất của hai tam giác đồng dạng
 Nếu hai tam giác đồng dạng với nhau thì:
 Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.
 Tỉ số hai đường phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.
 Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.
 Tỉ số các chu vi bằng tỉ số đồng dạng.
 Tỉ số các diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
 VẤN ĐỀ I. Sử dụng tam giác đồng dạng để tính toán
Bài 1. Cho tam giác A B C đòng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k.
 a) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác.
 3
 b) Cho k và hiệu chu vi của hai tam giác là 40dm. Tính chu vi của mỗi tam giác.
 5
 P 
 HD: a) k b) P 60(dm),P 100(dm) .
 P
 4
Bài 2. Cho tam giác A B C đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k . Tính chu vi của tam giác ABC, 
 3
 biết chu vi của tam giác A B C bằng 27cm. HD: P 20,25(cm).
Bài 3. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là AB = 3cm, AC = 5cm, BC = 7cm. Tam giác A B C đồng 
 dạng với tam giác ABC và có chu vi bằng 75cm. Tính độ dài các cạnh của A B C .
 HD: A B 15cm, B C 25cm, A C 35cm .
Bài 4. Cho tam giác ABC và các đường cao BH, CK. a) Chứng minh ABH ACK.
 b) Cho ·ACB 400 . Tính ·AKH . HD: b) ·AKH ·ACB 400 .
Bài 5. Cho hình vuông ABCD. Trên hai cạnh AB, BC lấy hai điểm P và Q sao cho BP = BQ. Gọi H là hình 
 chiếu của B trên đường thẳng CP.
 BH CH
 a) Chứng minh BHP CHB. b) Chứng minh: .
 BQ CD
 c) Chứng minh CHD BHQ. Từ đó suy ra ·DHQ 900 .
 HD: c) Chứng minh ·DHQ ·CHD ·CHQ ·BHQ ·CHQ ·BHC 900 .
Bài 6. Hai tam giác ABC và DEF có µA µD , µB µE , AB = 8cm, BC = 10cm, DE = 6cm.
 a) Tính độ dài các cạnh AC, DF, EF, biết rằng cạnh AC dài hơn cạnh DF là 3cm.
 b) Cho diện tích tam giác ABC bằng 39,69cm2 . Tính diện tích tam giác DEF.
 2
 HD: a) ABC  DEF EF = 7,5cm, DF = 9cm, AC = 12cm b) SDEF 22,33(cm ) .
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, BH = 4cm, CH = 9cm. Gọi I, K lần lượt là hình 
 chiếu của H lên AB, AC.
 a) Chứng minh AKI ABC. b) Tính diện tích tam giác ABC.
 c) Tính diện tích của tứ giác AKHI.
 216
 HD: b) S 39cm2 c) S cm2 .
 ABC AKHI 13
Bài 8. Cho tam giác ABC, có µA 900 µB , đường cao CH. Chứng minh:
 a) ·CBA ·ACH b) CH 2 BH.AH
 Trang 25 Hình học 8
 OH AB
 b) Đường thẳng qua O, vuông góc với AB, CD theo thứ tự tại H, K. Chứng minh .
 OK CD
 HD: a) Chứng minh OAB OCD.
Bài 9. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi O là giao điểm của ba đường cao AH, BK, CI.
 a) Chứng minh OK.OB = OI.OC b) Chứng minh OKI OCB
 c) Chứng minh BOH BCK d) Chứng minh BO.BK CO.CI BC2 .
 HD: 
Bài 10. Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 5,4cm, AC = 7,2cm.
 a) Tính BC. b) Từ trung điểm M của BC, vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường thẳng AC tại H 
 và cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh EMB CAB.
 c) Tính EB và EM. d) Chứng minh BH vuông góc với EC.
 e) Chứng minh HA.HC = HM.HE. HD: a) BC 9(cm) c) EM 6(cm),EB 7,5(cm)
Bài 11. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. a) Hãy nêu từng cặp các tam giác đồng dạng.
 b) Cho AB = 12,45cm, AC = 20,50cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BC, AH, BH, CH.
 HD: b) BC = 23,98cm, AH = 10,64cm, HB = 6,45cm, HC = 17,53cm.
 20
Bài 12. Cho tam giác ABC và đường cao AH, AB = 5cm, BH = 3cm, AC cm .
 3
 a) Tính độ dài AH b) Chứng minh ABH  CAH. Từ đó tính ·BAC .
 HD: a) AH = 4cm b) ·BAC 900 .
Bài 13. Cho tứ giác ABCD, có ·DBC 900 , AD 20cm , AB 4cm , DB 6cm , DC 9cm .
 a) Tính góc ·BAD b) Chứng minh BAD DBC c) Chứng minh DC // AB.
 HD: a) ·BAD 900
 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 15cm, AC = 20cm. Tia phân giác của góc A, cắt BC tại D. 
 DB
 a) Tính . b) Đường thẳng qua D, song song với AB, cắt AC tại E. Chứng minh EDC ABC.
 DC
 DB 3 60 2400
 c) Tính DE và diện tích của tam giác EDC. HD: a) ; c) DE (cm), S (cm2) .
 DC 4 7 EDC 49
Bài 2. Cho tam giác cân ABC, AB = AC = b, BC = a. Vẽ các đường cao BH, CK.
 a) Chứng minh BK = CH b) Chứng minh KH // BC c) Tính độ dài HC và HK.
 a2 a3
 HD: c) HC , KH a .
 2b 2b2
Bài 3. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB, AC lấy lần lượt các 
 điểm K, H sao cho BK.CH BI 2 . Chứng minh:
 a) KBI ICH b) KIH KBI c) KI là phân giác của góc ·BKH
 AD AE
Bài 4. cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, AC lấy lần lượt các điểm D, E sao cho . Đường 
 AB AC
 trung tuyến AI (I BC) cắt đoạn thẳng DE tại H. Chứng minh DH = HE.
 DH HE
 HD: đpcm.
 BI IC
 DA
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, µC 300 và đường phân giác BD (D AC). a) Tính tỉ số 
 CD
Bài 6. Cho tam giác đều ABC cạnh a, M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC 
 a2
 lấy điểm E sao cho ·DME 600 . a) Chứng minh BD.CE .
 4
 b) Chứng minh MBD EMD và ECM EMD.
 Trang 27