Đề tài Giảng dạy toán với phương pháp tích cực

 GIẢNG DẠY TOÁN VỚI PHƯƠNG
 PHÁP TÍCH CỰC
 1;
 Võ Viết Trí 
 1 Khoa Tự nhiên, Đại học Thủ Dầu Một,
 6 Trần Văn Ơn, Bình Dương.
 Tóm tắt nội dung
 Mục đích chính trong bài viết nhắc lại một phương pháp dạy-học toán tích cực
 mà ngày nay vẫn còn nguyên giá trị, áp dụng phương pháp này chúng ta sẽ tránh
 được lối dạy tiêu cực (mà còn gọi là dạy học-vẹt). Ngoài ra, bài viết còn chỉ ra một
 số cơ sở khoa học để giúp giáo viên giải quyết các vấn đề trong dạy học toán bậc
 Trung học cơ sở một cách hiệu quả.
1 Mở đầu
Theo hiểu biết của chúng tôi, hiện nay học sinh và sinh viên thường có thái độ học tập
một cách thụ động, phần lớn học sinh chỉ biết bắt chước làm lại những gì đã được Thầy
đã dạy, hoặc làm theo những bài tập mẫu từ sách giáo khoa, tài liệu tham khảo,.... Đứng
trước một vấn đề cần giải quyết (nói gọn là bài toán) các em thường có trạng thái tâm lý
là nhớ lại, xem lại, tìm kiếm xem bài toán đó đã được học chưa, tìm tài liệu có trình bày
lời giải. Học sinh không tự mình phân tích thông tin từ giả thiết của bài toán, tìm mối
liên hệ của các khái niệm đã biết với khái niệm chưa biết, tìm mối liên hệ giữa thông tin
từ giả thiết và các thông tin hệ quả, tìm công cụ để giải quyết. Nếu chúng ta yêu cầu học
sinh của mình cho lời giải một bài toán phổ biến có thể gọi là tương đối khó, thậm chí là
 khó, học sinh cho lời giải được nhưng nếu được hỏi "tại sao em có lời giải này?", tức là
 hỏi quá trình tìm lời giải, cơ sở của lời giải thì đa số các em trả lời không được hoặc trả
 lời rằng, "như bài đã học" hoặc "sách A chỉ như thế". Ngược lại, nếu chúng ta đưa yêu
 cầu chỉ ở mức thấp, có ngay từ định nghĩa khái niệm (dạng yêu cầu mà hầu hết không
 có trên các tài liệu vì không cần phải tốn bút mực để trình bày), thì đa số học sinh lúng
 túng. Những dấu hiệu vừa nêu cho thấy lối học tiêu cực mà ta thường gọi là học-vẹt vẫn
 còn phổ biến trong giai đoạn hiện nay. Bài viết nầy không đề cập đến hậu quả của việc
 học-vẹt, chỉ đề cập những nguyên nhân dẫn tới lối học-vẹt. Nhiều nguyên nhân dẫn đến
 lối học-vẹt, khách quan cũng có mà chủ quan cũng có, bài viết đề cập đến một số nguyên
 nhân chủ quan hoặc khách quan mà người dạy học Toán có thể điều chỉnh được bằng các
 hoạt động dạy-học của mình.
 1. Phương pháp dạy-vẹt nên dẫn đến học-vẹt, đây là nguyên nhân cốt lõi, nó thường
 biểu hiện ở một số dấu hiệu chính sau đây:
 +Xem thường việc dạy lý thuyết đề cao việc chạy theo số lượng bài tập,
 Liên hệ E-mail: trivv@tdmu.edu.vn
 1 "Khái niệm toán học ra đời". Song, mỗi khái niệm toán học, tuỳ theo mức độ sử dụng
ngôn ngữ khác nhau mà cách tiếp cận chúng cũng khác nhau, ngay cả khi cùng một mức
độ như nhau mà một khái niệm toán học cũng có nhiều cách tiếp cận. (Bài giảng sẽ có ví
dụ cụ thể)
 Do tính phong phú của việc tiếp cận "khái niệm toán học" nên giảng dạy "Khái niệm
toán học" là một cơ hội tốt nhất để phát triển khả năng sáng tạo của học sinh thông
qua việc học sinh có thể trình bày khái niệm cần định nghĩa bằng ngôn ngữ diễn đạt của
mình. (chẳng hạn: sáng tạo thuật ngữ và ký hiệu).
 Vai trò người Thầy: cung cấp tài liệu trước khi giảng, trong quá trình điều khiển hoạt
động của học sinh, Thầy phân tích đánh giá đúng-sai (kể cả thừa-thiếu), ưu-khuyết điểm
và bản chất là phải xác định được đối tượng được định nghĩa, và cuối cùng cho lời khuyên
tốt nhất.
 Chúng ta nên khuyến khích học sinh tìm những cách diễn đạt khác nhau, khác cách
diễn đạt mà tài liệu học tập (SGK) cung cấp để trình bày cùng một đối tượng cần định
nghĩa nhưng vẫn đảm bảo yêu cầu của một đĩnh nghĩa khái niệm.
 Việc cho rằng sách giáo khoa (SGK) là cái bất di, bất dịch là không phù hợp (Trong
việc đổi mới lần tới đây, Bộ giáo dục (BGD) khuyến khích nhiều người, nhiều tổ chức viết
sách giáo khoa theo chương trình khung ấn định trước, bậc Đại học đã làm việc này từ
lâu rồi).
2.1.2 Dạy giải quyết vấn đề
Có thể nói rằng tất cả việc giảng dạy toán học ở bậc trung học là tập trung chủ yếu vào
việc mục tiêu "Giải quyết vấn đề ", thông qua việc giải quyết các "vấn đề toán học" giúp
học sinh hình thành, phát triển năng lực: thu lượm thông tin, phân tích, tổng hợp và có
phương pháp giải quyết vấn đề một cách đúng đắn.
 Với mục tiêu như vậy, nếu sau quá trình dạy và học, khi gặp bài toán cần giải quyết,
thái độ của người học thụ động, có suy nghĩ dò tìm trong trí nhớ xem bài toán này đã
gặp chưa, đã được học chưa,..., điều này có nghĩa là việc dạy toán của chúng ta là chưa
đạt mục tiêu (tức là chúng ta đã làm cái việc mà người ta thường gọi là "dạy-học vẹt").
 Để tránh lối "dạy-học vẹt" như đã nêu người Thầy cần phải lưu ý các điều cơ bản sau
đây trước khi hướng dẫn học sinh giải quyết một yêu cầu (gọi là bài toán):
 1. Phải buộc (bằng cách đặt một số câu hỏi) cho học sinh tham gia tích cực vào việc
thu lượm thông tin từ các giả thiết đã cho của bài toán và từ các khái niệm, tính chất
đã biết. Học sinh có thể đưa ra những thông tin không cần thiết, thông tin không đúng,
người Thầy phải biết phân tích để loại bỏ những thông tin không đúng, thông tin không
cần thiết, những thông tin nhiễu,..., giử lại các thông tin bản chất.
 2. Hướng dẫn (bằng một số câu hỏi) học sinh tham gia tích cực tìm các mối quan hệ
giữa các thông tin ghi nhận được.
 3. Hướng dẫn học sinh sử dụng công cụ (Định lý, tính chất, suy luận lôgic, ...) để giải
quyết yêu cầu, nếu vẫn chưa giải quyết được phải quay lại rà soát xem thông tin nào từ
giả thiết mà chưa sử dụng. (Nếu là bài toán lớn, hãy hướng dẫn phân bài toán thành
những bài toán con độc lập, các bài toán đã có lời giải, và tiếp tục như vậy đối với bài
toán con)
 4. Khi đã có hướng giải quyết, người Thầy hướng dẫn học sinh xây dựng lời giải (nếu
là bài toán lớn, nên lập kế hoạch giải trước khi trình bày lời giải), những bài toán mức tư
duy thấp (ở bậc THCS, các bài toán đại số thường ở mức độ này) thì ở bước phân tích
có thể cho ngay lời giải.
 Lưu ý:
 3 Phân tích: Tập hợp cần tìm ở mức trừu tượng: A = m : T (m) đúng và kết
quả sau khi giải quyết vấn đề ta tìm được tập hợp cần tìm cụ thể là tập B,
  
như vậy lời giải phải thể hiện được nội dung: chứng tỏ tập A = B:
 Lời bàn:
 Ở ví dụ trên, tính chất T (m) ="Phương trình (1) có nghiệm x = 1", Tập hợp B = 3 :
 + Lời trình bày (i): f g
 Từ "để" nằm trong đề bài nó mang nghĩa "sao cho" (mô tả điều kiện ràng buộc);
 Từ "để" trong lời giải nó mang nghĩa "giả sử", "giả thiết rằng". Như vậy chúng ta
mới chỉ thực hiện được một chiều (điều kiện cần); tức là ta đã thực hiện được việc m A
 m B: Tức là A B; chưa thể kết luận A = B: 2
) +2 Lời trình bày (ii): "Thay x = 1 vào phương trình đã cho", câu này nói lên cách làm
chứ không phải lời giải, nó giống như làm theo sự hướng dẫn không cần biết tại sao làm
vậy? đây là lối dạy cho "Robot", tức là phát triển lối "học vẹt".
 + Lời trình bày (iii): Hoàn toàn không đúng kể cả hai chiều, quan sát thấy "x = 1
m = 3" ???, đây là mệnh đề hoàn toàn sai. ,
 + Lời trình bày (iv): Chặt chẻ và chính xác, thể hiện đúng bản chất bài toán.
 Tuy nhiên không phải lúc nào ta cũng có lời giải gọn đẹp như lời trình bày (iv), với
sự phân tích thông tin bài toán và kết hợp với phân tích các cơ sở khoa học của bài toán
ta sẽ có lời giải đẹp. Bạn hãy xem ví dụ dưới đây.
Ví dụ 2.
 Cho hệ phương trình sau
 x y = a2 1
 : (2)
 jx2+ yj2 = a + 1
 
Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
 Hướng dẫn gải quyết:
 Thông tin bản chất: Nếu (x0; y0) là nghiệm của hệ thì (y0; x0) cũng là nghiệm và do
đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = y0 và do đó suy ra a = 1 hoặc a = 1:
 Như vậy, khó khăn không còn nữa, tập trung giải quyết phần ngược lại: Nghĩa là với
a = 1 hay a = 1 thì hệ phương trình (2) có nghiệm duy nhất hay không, công việc này
không khó khi giải quyết hệ cụ thể không có tham số. (Bạn đọc tự cho lời giải. Đáp số
a = 1).
 Lời bàn:
 Nếu học sinh được rèn luyện "Giải quyết vấn đề" một cách không đầy đủ (như lời
trình bày (i)-Ví dụ 1), thì khi giải quyết bài toán ở Ví dụ 2 sẽ kết luận thừa một giá trị
a = 1:
Ví dụ 3. (Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán-2015, Bình Dương)
 Cho tam giác ABC vuông ở A, AD là phân giác góc A (D BC). Gọi H và K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C lên đường thẳng AD2 . Chứng minh rằng
BH + CK 2AD.
 
 1. Các thông tin thu lượm có thể là:
 5 học cho việc sử dụng các danh từ này). Các khái niệm toán học sơ cấp cũng như toán học
 hiện đại hầu hết đều dựa trên một nền tảng lý thuyết về tập hợp và ánh xạ. Chúng ta
 hãy bắt đầu nhắc lại khái niệm số lượng phần tử của tập hợp làm cơ sở của phép đếm.
 3.1 Cơ sở khoa học
 Định nghĩa 1.
 1. Ta quy ước gọi tập rỗng (ký hiệu ?) là tập không có phần tử, số lượng phần tử của
 tập ? là 0.
 2. Nếu tồn tại số nguyên dương n và một song ánh từ tập 1; 2; 3; :::; n vào tập A.
 Khi đó, số n gọi là số phần tử của tập A: f g
 Như vậy, việc viết tập A = x1; x2; ::::; xn là chưa đảm bảo tập hợp A có n phần tử,
 f g
 muốn có điều này là phải thêm giả thiết xi = xj nếu i = j (đây là điều kiện để nói lên
 6 6
 ánh xạ nói trong Định nghĩa 1 là đơn ánh: (xi = xj) (i = j)).
 Ví dụ 4 )
 1. A = 2 = 2; 2 = 2; 2; :::; 2 , cho dù viết thế nào đi nửa thì số lượng phần tử
 của A bằngf 1.g f g f g
 1 2 1 2
 2. Xét phân số , và phân số : Ta gán x1 = ; x2 = : Chúng ta viết A = x1; x2 và
 2 4 2 4 f g
 nếu xem A là tập con của tập các phân số (nghĩa là mỗi phần tử của A là một phân số)
 thì tập A là có hai phần tử, nhưng nếu xem A là tập con của tập số thực (hay số hữu tỉ)
 thì tập A chỉ có một phần tử. (Tức là hai phân số nhưng cùng mô tả một số thực (hay
 số hữu tỉ)).
 3. Xét các ký hiệu 0; 0 và +0, nếu đối tượng xem xét là ký hiệu (hình vẽ) thì
 0; 0; +0 là tập có 3 phần tử ( 3 ký hiệu), nhưng nếu đối tượng xem xét là các số (hay
 f g
 phần tử của tập số nguyên Z) thì 0; 0; +0 = 0 là tập hợp chỉ có một phần tử.
 4. Trên thực tế, cách dùng nàyf là rất phổg biến,f g chúng ta dùng một cách hết sứ tự
nhiên mà không cần quan tâm đến vấn đề toán học: Chẳng hạn như là: Hai tên nhưng
dùng chỉ cho một người; nhiều đồng tiền cùng một mệnh giá,...
 Việc có cơ sở khoa học tốt, giúp chúng ta giải thích một số tình huống một cách thuyết
phục và triệt để. Việc sử dụng không rõ ràng các danh từ chỉ số lượng xác định và không
xác định, thoáng qua thì thấy không quan trọng lắm, tuy nhiên nó có thể gây một số
phiền toái nếu như sử dụng không cân nhắc. Chẳng hạn xem ví dụ sau.
Ví dụ 5
 1 2
 Cho hàm số y = 4 x có đồ thị là (P). Tìm trên (P) các điểm M sao cho hoành độ và
 tung độ của M là hai số đối nhau.
 Bàn luận:
 +Những điểm M(x0; y0) thoả y0 = x0 gồm có M1 (0; 0) ; M2 ( 4; 4) :
  
 +Nếu hiểu 0 và 0 là hai số thì chấp nhận điểm M1 ,
 
 +Nếu hiểu theo cơ sở đã nêu thì M1 không thoả yêu cầu vì: 0 và 0 chúng là đối nhau
 (theo Định nghĩa ở [6], trang 70, SKG lớp 6) nhưng không là hai số đối nhau. Và với yêu
 cầu như đề bài toán thì bài này lời giải đúng chỉ có một điểm M( 4; 4):
 +Nếu cân nhắc kỹ lưỡng thì sẽ có rất nhiều cách điều chỉnh đề bài để không gặp phiền
toái.
3.2 Một số vấn đề cụ thể khi giảng dạy
Thực tế trong giảng dạy ở các trường bậc THCS, ngay cả bậc THPT, nảy sinh vấn đề
chúng ta phân biệt hay không phân biệt cụm từ "phương trình có hai nghiệm " và cụm
từ "phương trình có hai nghiệm phân biệt", cũng như khi có sự phân biệt hay không phân
 7 Ta có thể viết: p (x) = (x 1)2 (x 2) để thấy được tính chất nghiệm của đa thức,
và phương trình  
 (x 1) x2 3x + 2 = 0 (5)
  
có tập nghiệm S = 1; 2 : Như vậy phương trình
 (5) có hai nghiệm trong đó số 1 là
 nghiệm kép và số 2 làf nghiệmg đơn.
 Bàn luận.
 Căn cứ chứng cứ khoa học như trên thì
 1. phương trình (3) là "có hai nghiệm" hay nói "có hai nghiệm phân biệt" là như nhau.
 Việc nói "có hai nghiệm phân biệt" chỉ có ý nhấn mạnh thêm.
 2. phương trình (4) là "có một nghiệm", và nói "có một nghiệm kép" là để nhấn mạnh
về tính chất nghiệm được đề cập ở Định nghĩa 2.
 3. Tuy nhiên do không đủ lượng tri thức như trên để trình bày cho học sinh phổ thông,
nên ở phổ thông chỉ nói đến nghiệm kép ở Phương trình bậc 2: ax2 +bx+c = 0 và nó chỉ
tồn tại khi và chỉ khi b2 4ac = 0. Người ta chỉ nói cụm từ "nghiệm kép" mà không định
nghĩa khái niệm nghiệm kép cũng như không giải thích cho học sinh thế nào là nghiệm
kép? nếu cố gắng giải thích thì dễ phạm phải rắc rối.
 4. Chúng ta dùng các từ như là "một", "hai", "ba",... là để chỉ số lượng xác định
số phần tử của một tập hợp.
 5. Khi muốn chỉ một số lượng không xác định phần tử của tập hợp (có thể là một
và cũng có thể là hai,...) thì ta dùng từ chỉ số lượng không xác định như "các", "những".
chẳng hạn như:
 Giả sử gọi S là tập nghiệm của phương trình
 ax2 + bx + c = 0 (a = 0) (6)
 6
 (i) Nếu x1; x2 S và có đòi hỏi điều kiện x1 = x2 thì chúng ta thể phát biểu rằng:
 2 6
 "x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (6)" hoặc phát biểu nhấn mạnh: "x1; x2 là hai
 nghiệm phân biệt của phương trình (6)"-Đây là cách phát biểu ở SGK thường dùng
 2
 nhất. (ở trường hợp này thì điều kiện cần và đủ để tồn tại x1, x2 là b 4ac > 0).
 
 (ii) Nếu x1; x2 S và không đòi hỏi điều kiện x1 = x2 (nghĩa là có thể x1 = x2) thì
 2 6
ta phát biểu rằng: "x1; x2 là các nghiệm của phương trình (6)". (ở trường hợp này thì
 2
 điều kiện cần và đủ để tồn tại x1, x2 là b 4ac 0).
 Chẳng hạn như: Cho phương trình x2 2x +m = 0. Tìm m để phương trình có các
 
nghiệm x1; x2 thoả
 x1 + x2 = 2x1x2: (7)
Ở đây ta không quan tâm lời giải, ta chỉ xem xét khi m = 1 (lúc này tập hợp nghiệm của
phương trình đã cho là S = 1 ) thì có gì mâu thuẩn hay không?
 f g
 x1; x2 là các nghiệm của phương trình đã cho nghĩa là x1 S; x2 S. Do đó x1 = 1;
 2 2
 x2 = 1 và (7) đúng. Vậy không có mâu thuẩn.
 Một minh chứng sau đây cho thấy rằng, ở chương trình toán lớp 9, SGK cũng không
 có sự phân biệt giữa hai cụm từ nói trên. Ta xét định lý Vi-ét được phát biểu ở [7], trang
 51, SGK lớp 9, như sau
 9