Giáo án bồi dưỡng HSG giải toán trên máy tính cầm tay casio- Chủ đề 8: Dạng toán về dãy truy hồi - Trường THCS Hồng Hưng - Năm học 2010-2011

 Năm học 
 Vì sự nghiệp giáo dục 2010 - 2011
 Ngày soạn : 04/10/10
 Ngày dạy : 13/10/10
 Chủ đề 8
 Buổi 1 Dạng toán về dãy truy hồi 
A/Mục tiêu
 ✓ Học xong buổi học này HS cần phải đạt được :
➢ Kiến thức 
 - Học sinh bước đầu biết lập công thức truy hồi và công thức tổng quát 
để tính un, biết tính các số hạng đầu tiên của dãy, biết viết quy trình bấm 
phím liên tục trên máy casio để tính giá trị un
➢ Kĩ năng 
 - Rèn kĩ năng lập công thức tổng quát và công thức truy hồi theo nhiều 
cách
 - Rèn kĩ năng trình bày
➢ Thái độ 
 - Giáo dục tính cẩn thận, chính xác, khả năng tư duy, sáng tạo của HS
B/Chuẩn bị của thầy và trò
 - GV: Máy tính bỏ túi
 - HS: Máy tính bỏ túi, đồ dùng học tập, vở ghi 
C/Tiến trình bài dạy
 I. Tổ chức - sĩ số
 II. Kiểm tra bài cũ 
 III. Bài mới 
 I – Lí thuyết
 1. Cụng thức truy hồi và cụng thức tổng quỏt của dóy số
 - Dóy số un = aun-1 + bun-2 (1) gọi là cụng thức truy hồi để tớnh un.
 n n
 - Dóy số : un = c1u1 + c2u2 (2) gọi là cụng thức tổng quỏt để tớnh un
 - Cụng thức (1) và (2) cựng biểu diễn để tớnh giỏ trị của un và cú quan hệ với n
 hau.
 2
 - Ở cụng thức (2), u1 và u2 là nghiệm của phương trỡnh: u = au + b hay: 
 u2 – au – b = 0
 - Do vậy nếu biết được cụng thức truy hồi ta tỡm được cụng thức tổng quỏt và 
 ngược lại.
 Vớ dụ 1: 
 Cho dóy số u0 = 2 ; u1= 10 ; un+1 = 10un – un-1 (n = 1, 2, 3 )
 Tỡm cụng thức tổng quỏt của un 
 n n
 Giải: Cụng thức tổng quỏt cú dạng: un = c1x1 + c2x2 
 2
 Trong đú x1 và x2 là nghiệm của phương trỡnh: x – 10x + 1 = 0 (*)
 Giải phương trình (*) cú x1 = 5 2 6 ; x2 = 5 - 2 6
 Giáo án Bồi dưỡng HSG - Môn Casio Năm học 
 Vì sự nghiệp giáo dục 2010 - 2011
 Alpha /B / Alpha / = /2 /Alpha /A / + / Alpha / B / Alpha / = (được u4) 
Lặp lại dấu “ =” ta được cỏc số hạng tiếp theo .
Vớ dụ 2: Cho dóy số un = un – 1 + 2un – 2 + 3un – 3 Biết u1 = 1; u2 = 2 ; u3 = 3 
Viết quy trỡnh bấm phớm liờn tục để tớnh giỏ trị của un với n 4
 1 /shift / sto A (gỏn u1 vào A)
 2 /shift / sto B (gỏn u2 vào B)
 3 /shift / sto C (gỏn u3 vào C)
 Alpha /A / Alpha / = /Alpha /C / + / 2 / Alpha / B / + / 3 /Alpha /A / Alpha /:
 Alpha /B / Alpha / = /Alpha /A / + / 2 / Alpha / C / + / 3 /Alpha /B / Alpha /:
 Alpha /C / Alpha / = /Alpha /B / + / 2 / Alpha / A / + / 3 /Alpha /C / Alpha / 
= (u6)
 Lặp lại dấu “ =” ta được cỏc số hạng tiếp theo .
Vớ dụ 3:
Cho u1 = 1 ; u2 = 2 và dóy số được xỏc định
 Nếu n chẳn: u2n+2 = 3u2n+1 + 5u2n - 1
 Nếu n lẻ : u2n+1 = 5u2n + 3u2n-1
a)Lập quy trỡnh tớnh trờn mỏy casio để tớnh u12 ; u13 ; S12 ; S13 (S12 bằng tổng 
cỏc số hạng của dóy ứng n = 12) 
b) Tớnh u12 ; u13 và tớnh tổng S12 ; S13 
Giải : Thiết lập quy trỡnh tớnh trờn mỏy như sau.
Gỏn u1 = 1 vào A (lẻ) ( 1 /shift / sto/ A )
 u2 = 2 vào B (chẳn) (2 /shift / sto/ B)
 S2 = 3 vào C (3 /shift / sto /C)
Nhập: 
A = 5B + 3A : (u3) (Alpha/A/Alpha/=/5/Alpha/B/+/3/Alpha/A/Alpha /:/)
C = C + A : (S3) (Alpha/C/Alpha/=/Alpha/C/+/Alpha/A /:/) 
B = 3A + 5B - 1: (u4) (Alpha/B/Alpha/=/3/Alpha/A/+/5/Alpha/B/-/1/Alpha /:/)
C = C + B (S4) (Alpha/C/Alpha/=/Alpha/C/+/Alpha/B/=/=/=/=/ 
Ấn liờn tiếp cỏc dấu bằng: Lần 1 “=” (được u3)
 Lần 2 “=” (được S3)
 Lần 3 “=” (được u4)
 Lần 4 “=” (được S4) 
Lặp lại dấu “=” cứ thế ta tỡm được dóy số theo chu kỡ: (u3, S3, u4, S4) ; (u5, S5, u
6, S6) (u7, S7, u8, S8) .
Như vậy ta dễ dàng giải quyết được bài toỏn: 
 u12 =11980248 ; S12 =15786430 ; u13 =69198729 ; S13 =84985159 
II – Bài tập
Bài 1: Cho dóy số: u1 = 2 ; u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n= 2; 3 )
 a) Tớnh u3 ; u4 ; u5 ; u6 ; u7
 b) Viết quy trỡnh bấm phớm liờn tục để tớnh cỏc giỏ trị của un với 
 u1 = 2 ; u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 (n= 2; 3 )
 c) Sử dụng quy trỡnh trờn, tớnh giỏ trị của u22 ; u23 ; u24 ; u25
Hướng dẫn:
Giáo án Bồi dưỡng HSG - Môn Casio Năm học 
 Vì sự nghiệp giáo dục 2010 - 2011
 b) Gỏn: 1 A ; 2 B ; 3 C ghi A = C + 2B + 3A : B = A + 2C + 3B : C = 
 B + 2A + 3C , ấn liờn tục dấu “=” được cỏc số hạng tiếp theo của dóy
 c) u22 = 53147701 ; u25 = 711474236 ; u28 = 9524317645 ; u30 = 53697038226
 n n
 (3 5) (3 5)
 Bài 5: Cho dóy số Un = 
 3 5
 a) Tớnh 4 số hạng đầu tiờn của dóy số.
 b) Chứng minh: Un + 2 = 6Un + 1 – 4Un
 c) Lập quy trỡnh ấn phớm liờn tục tớnh Un + 2 trờn mỏy Casio
 Hướng dẫn:
 X X
 (3 5 ) (3 5 )
 a) Nhập trên máy , sau đó nhấn phím CALC, =, nhập 
 3 5
 2 1
 các giá trị X = 0; 1; 2; 3 được kết quả: u0 = 0 ; u1 = ; u2 = 4 ; u3 = 21
 3 3
 b) Chứng minh: Un + 2 = 6Un + 1 – 4Un
 Cách 1: Đặt a = 3 + 5 ; b = 3 - 5 ta cú: 
 n n
 n n
 a b a 3 5 b 3 5 
 un = ; un + 1 = 
 3 5 3 5
 n 2 n 2 n n
 a 3 5 b 3 5 a 9 6 5 5 b 9 6 5 5 
 un+2 = = 
 3 5 3 5
 n n n n n n
 a 18 6 5 4 b 18 6 5 4 a 3 5 b 3 5 a b 
 = =6 4 
 3 5 3 5 3 5
 = 6un + 1- 4un . Vậy: un+2 = 6un + 1- 4un 
 n n
 Cách 2: Ta biểu diễn un dưới dạng tổng quỏt un = c1u1 + c2u2 như sau: 
 1 n 1 n 1 1
 un = (3 5 ) (3 5 ) c1 = ; c2 = - ; 
 3 5 3 5 3 5 3 5
 u1 3 5 ;u2 3 5
 Trong đú u1; u2 là nghiệm của phương trình: 
 2 2 2
 (u u1 )(u u2 ) 0 u (u1 u2 )u u1u2 0 u 6u 4 0 u 6u 4
 Vậy cụng thức truy hồi: u = 6u - 4u với u = 0 ; u = 2
 n+2 n + 1 n 0 1 3
 c) Gỏn: 0 A ; 2 B ; ghi A = 6B - 4A : B = 6A - 4B 
 3
 Bấm “=” (được u2) = 
 IV. Hướng dẫn về nhà 
- Giải bài tập sau:
 n n
 5 2 5 2 
Bài 6: Cho dóy số : Un = 3 Với n = 1; 2; 3; .
 2 2 
 a) Tớnh 6 số hạng đầu tiờn của dóy.
 b) Lập cụng thức truy hồi để tớnh Un + 2 theo Un và Un + 1
 Giáo án Bồi dưỡng HSG - Môn Casio Năm học 
 Vì sự nghiệp giáo dục 2010 - 2011
 Ngày soạn : 12/10/10
 Ngày dạy : 20/10/10
 Chủ đề 8
 Buổi 2 Dạng toán về dãy truy hồi 
A/Mục tiêu
 ✓ Học xong buổi học này HS cần phải đạt được :
➢ Kiến thức 
 - Học sinh thành thạo việc lập công thức truy hồi và công thức tổng 
quát để tính un, biết tính các số hạng đầu tiên của dãy, biết viết quy trình 
bấm phím liên tục trên máy casio để tính giá trị un
➢ Kĩ năng 
 - Rèn kĩ năng lập công thức tổng quát và công thức truy hồi theo nhiều 
cách khác nhau
 - Rèn kĩ năng trình bày
➢ Thái độ 
 - Giáo dục tính cẩn thận, chính xác, khả năng tư duy, sáng tạo của HS
B/Chuẩn bị của thầy và trò
 - GV: Máy tính bỏ túi
 - HS: Máy tính bỏ túi, đồ dùng học tập, vở ghi 
C/Tiến trình bài dạy
 I. Tổ chức – sĩ số 
 II. Kiểm tra bài cũ 
 - HS1: Giải bài tập 6a,c đã cho ở buổi học trước
 - HS2: Giải bài tập 6b đã cho ở buổi học trước
 III. Bài mới 
 Bài 7: Cho dóy số u1 = 8 ; u2 = 13 , un+1 = un + un-1 (n = 2; 3; 4 )
 a) Lập quy trỡnh bấm phớm liờn tục để tớnh giỏ trị un+1 với mọi n 2
 b) Sử dụng quy trỡnh trờn tớnh giỏ trị u13 ; u17
 Hướng dẫn:
 a) Gỏn: 8 A ; 13 B ; ghi A = B + A : B = A + B bấm “=” (được u2) = 
 b) u13 = 2584 ; u17 = 17711
 (2 3)n (2 3)n
 Bài 8: Cho dóy số un = n = 1; 2; 3 
 2 3
 a) Tớnh 8 số hạng đầu tiờn của dóy số này.
 b) Lập cụng thức truy hồi để tớnh un+2 theo un+1 và un
 c) Lập một quy trỡnh tớnh un trờn mỏy casio
 d) Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn n để un chia hết cho 3
 Hướng dẫn:
 Giáo án Bồi dưỡng HSG - Môn Casio Năm học 
 Vì sự nghiệp giáo dục 2010 - 2011
 n n n 1 n 1 n 3 5 n 3 5 
Ta có: un a b 2 ;un 1 a b 2 a b 2
 2 2 
 2 2
 n 2 n 2 n 3 5 n 3 5 
un 2 a b 2 = a b 2
 2 2 
 n 9 6 5 5 n 9 6 5 5 
 a b 2
 4 4 
 n 18 6 5 4 n 18 6 5 4 
 a b 2
 4 4 
 n 3 5 n 3 5 n n
 = 3 a b a b 2
 2 2 
 n 3 5 n 3 5 n n
 = 3 a b 2 a b 2 2
 2 2 
Vậy un + 2 = 3un+1 – un + 2
c) gỏn: 0 A ; 1 B ; ghi A = 3B – A + 2 : B = 3A – B + 2 bấm “=” (u2) = 
Bài 10: 
Cho un với u1 = 0 ; u2 = 14 ; u3 = -18 và un+1 = 7un-1 – 6un-2 với n = 4; 5 
 a) Lập quy trình tớnh un trên máy casio và tớnh u4; u5 ; u6  u20
 b) Lập và chứng minh cụng thức tổng quỏt của un
Hướng dẫn: 
a) Gỏn: 0 A ; 14 B ; -18 C 
Ghi A = 7B – 6A : B = 7C – 6B : C = 7A – 6C , Bấm “=” (u4), = ,(u5), 
u4 = 98; u5 = -210; u6 = 794 ; u7 = -2058 ; u8 = 6818 ; u9 = -19170 ; 
u10 = 60074; u11 = -175098 ; u12 = 535538 ; u13 = -1586130 ; 
u14 = 4799354; u15 = -14316138; u16 = 43112258 ; 
u17 = - 129009090 ; u18 = 387682634 ; 
u19 = -1161737178; u20 = 3487832978
Lưu ý: Nếu tính trên giấy thì thực hiện như sau
u4 7u2 6u1 ;u5 7u3 6u2 ;u6 7u4 6u3 , . . .
 n n n
b) Cụng thức tổng quỏt cú dạng : un = C1x1 + C2x2 + C3x3 (*) 
trong đú x1 ; x2 ; x3 là nghiệm của phương trỡnh :
x3 = 7x –
 6 .Giải phương trình này ta tìm được nghiệm x1 = 2; x2 = -3; x3 = 1 thay vào 
 n n
(*) ta có: un = C12 + C2(-3) + C3 
 u1 2C1 3C2 C3 0
Xột n = 1; n = 2 ; n = 3 ta có: u2 4C1 9C2 C3 14
 u3 8C1 27C2 C3 18
Tỡm được C1 = C2 = C3 = 1
 n n
Vậy cụng thức tổng quỏt là: un = 2 + (-3) + 1 
Chứng minh bằng phương phỏp quy nạp: 
 (5 7)n (5 7)n
Bài 11: Cho dóy số: un = (1)
 2 7
Giáo án Bồi dưỡng HSG - Môn Casio