Giáo án bồi dưỡng HSG Toán Lớp 9 - Nguyễn Văn Tú - Năm học 2012-2013

 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013
 Thanh Mỹ, ngày 20 tháng 7 năm 2012
 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I. ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.
II. TÍNH CHẤT:
1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; không thể có chữ 
số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố 
với số mũ chẵn.
3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính 
phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N).
4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính 
phương nào có dạng 3n + 2 (n N).
5. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2
Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
 Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
 Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
 Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
III. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
 A. DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG 
 Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì 
 A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.
 Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 
 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì
 A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 
V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z
Vậy A là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.
Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n N). Ta có
 Gv: Nguyễn Văn Tú 1 Trường THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013
 2n chữ số 1 n chữ số 4
 B = 111 + 111 + 666 + 8
 2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6
 C = 444 + 222 + 888 + 7 
 2n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 8
 2 2
 10n 2 2 10n 8 2.10n 7 
Kết quả: A = ; B = ; C = 
 3 3 3 
Bài 6: Chứng minh rằng các số sau là số chính phương:
 a. A = 22499910009
 n-2 chữ số 9 n chữ số 0
 b. B = 1115556
 n chữ số 1 n-1 chữ số 5
a. A = 224.102n + 999.10n+2 + 10n+1 + 9= 224.102n + ( 10n-2 – 1 ) . 10n+2 + 10n+1 + 9
 = 224.102n + 102n – 10n+2 + 10n+1 + 9= 225.102n – 90.10n + 9
 = ( 15.10n – 3 ) 2 A là số chính phương
b. B = 11115555 + 1 = 111.10n + 5.111 + 1 
 n chữ số 1 n chữ số 5 n chữ số 1 n chữ số 1
 n n 2n n n
 = 10 1 . 10n + 5. 10 1 + 1 = 10 10 5.10 5 9
 9 9 9
 2
 102n 4.10n 4 10n 2 
 = = là số chính phương ( điều phải chứng minh)
 9 3 
Bài 7: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là 
một số chính phương
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n N , n ≥2 ).
Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2)
 Gv: Nguyễn Văn Tú 3 Trường THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013
 p+1 là số chính phương
b. p = 2.3.5 là số chia hết cho 3 p-1 có dạng 3k+2.
Không có số chính phương nào có dạng 3k+2 p-1 không là số chính phương .
Vậy nếu p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không là số chính phương
Bài 12: Giả sử N = 1.3.5.72007.
Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 không có số nào là số 
chính phương.
a. 2N-1 = 2.1.3.5.72007 – 1
Có 2N  3 2N-1 không chia hết cho 3 và 2N-1 = 3k+2 (k N)
 2N-1 không là số chính phương.
b. 2N = 2.1.3.5.72007
Vì N lẻ N không chia hết cho 2 và 2N  2 nhưng 2N không chia hết cho 4.
2N chẵn nên 2N không chia cho 4 dư 1 2N không là số chính phương.
c. 2N+1 = 2.1.3.5.72007 + 1
 2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho 4
 2N không chia hết cho 4 nên 2N+1 không chia cho 4 dư 1
 2N+1 không là số chính phương.
Bài 13: Cho a = 111 ; b = 10005
 2008 chữ số 1 2007 chữ số 0
 Chứng minh ab 1 là số tự nhiên.
 2008
Cách 1: Ta có a = 111 = 10 1 ; b = 10005 = 1000 + 5 = 102008 + 5
 9
 2008 chữ số 1 2007 chữ số 0 20082 chữ 
số 0
 (102008 1)(102008 5) (102008 ) 2 4.102008 5 9 102008 2 
 ab+1 = + 1 = = 
 9 9 3 
 102008 2 2102008 2
 ab 1 = = 
 3 3
 102008 2
Ta thấy 102008 + 2 = 10002  3 nên N hay ab 1 là số tự nhiên.
 3
 2007 chữ số 0 
Cách 2: b = 10005 = 1000 – 1 + 6 = 999 + 6 = 9a +6
 2007 chữ số 0 2008 chữ số 0 2008 chữ số 9
 Gv: Nguyễn Văn Tú 5 Trường THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013
 Bài 2: Tìm a để các số sau là những số chính phương:
 a. a2 + a + 43 
 b. a2 + 81
 c. a2 + 31a + 1984 
 Kết quả: a. 2; 42; 13
 b. 0; 12; 40
 c. 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728 
 Bài 3: Tìm số tự nhiên n ≥ 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! +  + n! là một số chính 
phương .
 Với n = 1 thì 1! = 1 = 12 là số chính phương .
 Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương 
 Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = 9 = 32 là số chính phương 
 Với n ≥ 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; ; n! đều 
tận cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! +  + n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải 
là số chính phương .
 Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3.
 Bài 4: Tìm n N để các số sau là số chính phương: 
 a. n2 + 2004 ( Kết quả: 500; 164)
 b. (23 – n)(n – 3) ( Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23)
 c. n2 + 4n + 97 
 d. 2n + 15
 Bài 5: Có hay không số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương. 
 Giả sử 2006 + n2 là số chính phương thì 2006 + n2 = m2 (m N)
 Từ đó suy ra m2 – n2 = 2006 (m + n)(m - n) = 2006 
 Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)
 Mặt khác m + n + m – n = 2m 2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)
 Từ (1) và (2) m + n và m – n là 2 số chẵn
 (m + n)(m - n)  4 Nhưng 2006 không chia hết cho 4
 Điều giả sử sai. 
 Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương.
 Bài 6: Biết x N và x>2. Tìm x sao cho x(x-1).x(x-1) = (x-2)xx(x-1) 
 Đẳng thức đã cho được viết lại như sau: x(x-1) 2 = (x-2)xx(x-1)
 Do vế trái là một số chính phương nên vế phải cũng là một số chính phương .
 Gv: Nguyễn Văn Tú 7 Trường THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013
 Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802
 C. DẠNG 3: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG
 Bài 1: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A 
một đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.
 Gọi A = abcd = k2. Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số 
 B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m2 với k, m N và 32 < k < m < 100
 a, b, c, d N ; 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b, c, d ≤ 9
 Ta có A = abcd = k2
 B = abcd + 1111 = m2 
 m2 – k2 = 1111 (m-k)(m+k) = 1111 (*)
 Nhận xét thấy tích (m-k)(m+k) > 0 nên m-k và m+k là 2 số nguyên dương.
 Và m-k < m+k < 200 nên (*) có thể viết (m-k)(m+k) = 11.101
 Do đó m – k == 11 m = 56 A = 2025
 m + k = 101 n = 45 B = 3136 
 Bài 2: Tìm 1 số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn 
số gồm 2 chữ số sau 1 đơn vị.
 Đặt abcd = k2 ta có ab – cd = 1 và k N, 32 ≤ k < 100 
 Suy ra 101cd = k2 – 100 = (k-10)(k+10) k +10  101 hoặc k-10  101
 Mà (k-10; 101) = 1 k +10  101
 Vì 32 ≤ k < 100 nên 42 ≤ k+10 < 110 k+10 = 101 k = 91
 abcd = 912 = 8281
 Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số 
cuối giống nhau.
 Gọi số chính phương phải tìm là aabb = n2 với a, b N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9
 Ta có n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1)
 Nhận xét thấy aabb  11 a + b  11
 Mà 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 nên 1 ≤ a+b ≤ 18 a+b = 11
 Thay a+b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a+1) do đó 9a+1 là số chính phương .
 Bằng phép thử với a = 1; 2; ; 9 ta thấy chỉ có a = 7 thỏa mãn b = 4
 Số cần tìm là 7744
 Bài 4: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương.
 Gv: Nguyễn Văn Tú 9 Trường THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013
 Bài 8: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các 
 chữ số của nó. 
 Gọi số phải tìm là ab với a,b N và 1 ≤ a ≤ 9 , 0 ≤ b ≤ 9
 2
 Theo giả thiết ta có : ab = ( a + b )3 (10a+b)2 = ( a + b )3
 ab là một lập phương và a+b là một số chính phương
 Đặt ab = t3 ( t N ) , a + b = l 2 ( l N )
 Vì 10 ≤ ab ≤ 99 ab = 27 hoặc ab = 64
 • Nếu ab = 27 a + b = 9 là số chính phương 
 • Nếu ab = 64 a + b = 10 không là số chính phương loại
 Vậy số cần tìm là ab = 27
 Bài 9: Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống nhau.
 Gọi 3 số lẻ liên tiếp đó là 2n-1, 2n+1, 2n+3 ( n N)
 Ta có A= ( 2n-1 )2 + ( 2n+1)2 + ( 2n+3 )2 = 12n2 + 12n + 11
 Theo đề bài ta đặt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111.a với a lẻ và 1 ≤ a ≤ 9
 12n( n + 1 ) = 11(101a – 1 )
 101a – 1  3 2a – 1  3
 Vì 1 ≤ a ≤ 9 nên 1 ≤ 2a-1 ≤ 17 và 2a-1 lẻ nên 2a – 1 { 3; 9; 15 }
 a { 2; 5; 8 }
 Vì a lẻ a = 5 n = 21
 3 số càn tìm là 41; 43; 45
 Bài 10: Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng 
tổng lập phương các chữ số của số đó.
 ab (a + b ) = a3 + b3
 10a + b = a2 – ab + b2 = ( a + b )2 – 3ab
 3a( 3 + b ) = ( a + b ) ( a + b – 1 )
 a + b và a + b – 1 nguyên tố cùng nhau do đó
 a + b = 3a hoặc a + b – 1 = 3a
 a + b – 1 = 3 + b a + b = 3 + b
 a = 4 , b = 8 hoặc a = 3 , b = 7
 Vậy ab = 48 hoặc ab = 37.
 Gv: Nguyễn Văn Tú 11 Trường THCS Thanh Mỹ