SKKN Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng

 PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong mơn hình học nĩi chung và mơn hình học cấp trung học cơ sở nĩi riêng, 
mảng nghiên cứu về điểm và đường thẳng luơn là đề tài xuyên suốt quá trình 
học của các em học sinh, nĩ là nền tảng của các hình, các gĩc, các cạnh,  
Trong đĩ, việc chứng minh ba điểm thẳng hàng đĩng một vai trị khơng nhỏ 
trong việc tìm ra lời giải của các bài tốn liên quan đến điểm và đường thẳng.
Bộ mơn tốn hình học địi hỏi tư duy và trừu tượng, chính vì thế người thầy 
giáo trong khi giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh của mình với khả năng 
sáng tạo, ham thích học và giải được các dạng bài tập mà cần phải thơng qua 
chứng minh ba điểm thẳng hàng, nâng cao chất lượng học tập, đạt kết quả tốt 
trong các kỳ thi. Từ đĩ tơi mạnh dạn chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm 
"Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng" nhằm giúp giúp học sinh 
của mình nắm vững các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng, giúp 
học sinh tư duy logic với từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau.
2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI:
Giúp HS hiểu và nắm chắc cách giải, dạng tốn về “Chứng minh ba điểm 
thẳng hàng”. Đồng thời rèn cho HS khả năng phân tích, khái quát hĩa, tổng 
hợp phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo, nhạy bén, tự học tạo sự say mê, 
hứng thú khơng cịn lúng túng, ngần ngại khi gặp bài tốn này. Giúp HS thấy 
được ý nghĩa của việc chứng minh thẳng hàng nhằm giải quyết những bài tốn 
khác.
3. NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:
- Xây dựng kế hoạch thực hiện ngay từ đầu năm học.
- Tổ chức cho học sinh ơn luyện theo chuyên đề, trao đổi trực tiếp. Sau mỗi 
chuyên đề ra một bài kiểm tra kiến thức của học sinh (đề ra dạng như đề thi để 
học sinh làm quen dần).
- Giáo viên say mê, tích cực, giảng dạy và tự học; tìm tịi nhiều dạng bài tập 
phong phú cho học sinh luyện tập khơng chỉ trên lớp mà cả ở nhà.
- Thổi vào học sinh sự tự tin, niềm tin chiến thắng, ý chí kiên cường và quyết 
tâm thi đạt giải cao trong kỳ thi chọn học sinh năng khiếu. Động viên, khích lệ 
học sinh thường xuyên và liên tục. Đồng thời kết hợp tốt với việc uốn nắn 
hướng dẫn cụ thể học sinh trong từng buổi học. - Các em chưa cĩ phương pháp học tập tốt thường học vẹt, học máy mĩc thiếu 
nhẫn nại khi gặp bài tốn khĩ.
 - Khảo sát thực tiễn:
Khi chưa thực hiện đề tài này, thì hầu hết các em làm bài tập rất lúng túng, thời 
gian làm mất nhiều, thậm chí khơng tìm ra cách giải. Để thực hiện đề tài này 
tơi đã tiến hành khảo sát năng lực của học sinh thơng qua một số bài kiểm tra 
kết quả như sau:
 XÕp lo¹i
Tỉng sè 
 Giái Kh¸ Trung b×nh Ỹu
 HS
 SL % SL % SL % SL %
 84 5 6% 21 25% 39 46% 19 23%
Thơng qua kết quả khảo sát tơi đã suy nghĩ cần phải cĩ biện pháp thích hợp để 
giảng dạy, truyền đạt cho học sinh nắm vững những yêu cầu trong quá trình 
giải những bài tốn về chứng minhba điểm thẳng hàng. Tơi mạnh dạn nêu ra 
một số biện pháp dưới đây:
C. NỘI DUNG:
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI:
- Dạng tốn chứng minh ba điểm thẳng hàng là một dạng tốn thường cĩ trong 
các đề thi học kỳ cũng như tuyển sinh, khơng lạ mấy nhưng khĩ chứng minh 
đối với học sinh, học sinh thường lúng túng khi giải vì chưa nắm cơ sở để 
chứng minh, khơng thấy mối liên hệ mật thiết giữa lý thuyết hình học liên quan 
đến dạng tốn này.
- Ta cĩ thể hiểu ba điểm thẳng hàng là ba điểm cùng nằm trên một đường 
thẳng, và việc chứng minh ba điểm thẳng hàng cần phải xây dựng trên các cơ 
sở hình học, ví dụ như: tiên đề Ơclit, tính chất ba đường trong tam giác, ...
- Các bài tập chứng minh ba điểm thảng hàng cĩ rất nhiều trong các loại sách 
tham khảo, sách nâng cao, hay các thơng tin khác nhưng chỉ ở tính chất cịn 
chung chung, chưa phân loại, chưa phân thành những dạng cụ thể vì vậy các 
em học sinh khĩ nắm vững phương pháp giải cho nhiều loại bài tốn, các em 
cịn mơ hồ khơng biết sử dụng như thế nào? Ở đây, đề tài tơi đưa ra khơng xa 
lạ mấy về mặt kiến thức so với các loại sách tham khảo chỉ khác hơn là tơi đã 
phân loại các phương pháp cụ thể hơn, rõ ràng hơn, từ dễ đến khĩ. Vì điều 
kiện cho phép nhất định tơi chỉ đưa ra một số phương pháp và một số dạng bài 
tập cơ bản nhất. B. Bài tập
Bài 1: Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. 
Trên cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm K và H sao cho AK =AH. Gọi I là 
giao điểm của BH và DK. 
Chứng minh: Ba điểm A, I, O thẳng hàng.
 Chứng minh:
 B
 Xét ADK và ABH, ta cĩ: K
 AK = AH (gt ) I
 A C
 K· AD là gĩc chung; O
 AD = AB (gt ) H
 ADK = ABH (c.g.c) D
 A· DK A· BH
 Mà A· DK I·DB A· DB; A· BH I·BD A· BD
 A· DB A· BD (vì tứ giác ABCD là hình thoi) 
 I·DB I·BD Tam giác IBD cân, do đĩ IB = ID 
 Vậy: AB = AD; IB = ID; OB = OD
 Do đĩ ba điểm A, I, O cùng nằm trên đường trung trực của BD
 Nên ba điểm A, I, O thẳng hàng.
Bài 2:
 Cho ABC cân tại A, AH là phân giác của gĩc BAC (H BC). Qua 
điểm B vẽ đường vuơng gĩc với AB và qua điểm C vẽ đường vuơng gĩc với 
AC, chúng cắt nhau tại O. Chứng minh: Ba điểm A, H, O thẳng hàng.
Giải : (Nhiều cách ) A
 Chứng minh:
 Cách 1: ABO = ACO 
 (AB =AC, AO cạnh chung, A· BO A· CO 900 )
 B· AO C· AO
 C
 AO là phân giác của B· AC B H
 Mà AH cũng là phân giác của B· AC . 
 O 4.2. Sử dụng tiên đề Ơ-clit và hệ quả:
A. Kiến thức cơ bản
- Tiên đề Ơ-clit: Qua điểm A nằm ngồi đường thẳng a, kẻ được duy nhất một 
đường thẳng song song với a.
- Hệ quả: Qua điểm A nằm ngồi đường thẳng a, kẻ được duy nhất một đường 
 A
thẳng vuơng gĩc với a.
 A B C
 B a
 a
 C
 BA// a, BC// a AC  a , BC  a A, B, C thẳng hàng 
 A, B, C thẳng hàng (hay AB  a, BC  a A, B, C thẳng 
hàng)
B. Bài tập:
Bài 1: Cho tam giác ABC, vẽ các trung tuyến BD và CE, trên các tia đối của các 
tia EC và DB lấy thứ tự các điểm M và N sao cho EM = EC, DN = DB. Chứng 
minh ba điểm M, A và N thẳng hàng.
 M A N
Chứng minh:
 Tứ giác MACB cĩ EA = EB, EM = EC (gt) E D
 Tứ giác MACB là hình bình hành
 AM//BC (1) B C
 Chứng minh tương tự, ta cĩ AN//BC (2)
 Từ (1) và (2), theo tiên đề Ơclit suy ra AM  AN
 Hay ba điểm M, A và N thẳng hàng.
Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi M, I, K, N lần lượt là trung điểm 
của AD, BD, AC, BC. Chứng minh bốn điểm M, I, K, N thẳng hàng.
Chứng minh: A B
* Xét hình thang ABCD cĩ:
 N
M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC M
 I K
 MN là đường trung bình của hình thang ABCD.
 D C AB CD 1 1
 Mà MN = AB CD hay MN = MI + NI.
 2 2 2
 Từ đĩ suy ra I nằm giữa M và N, hay M, I và N thẳng hàng.
 Lúc đĩ ta cĩ AB//CD (vì cùng song song với MN)
 Do đĩ tứ giác ABCD là hình thang.
 AB CD
 Vậy nếu MN thì M, I, N thẳng hàng và tứ giác ABCD là hình thang.
 2
 4.4. Sử dụng tính chất của gĩc bẹt:
A. Kiến thức cơ bản:
 C
* Tính chất: Nếu A· OC B· OC A· OB 1800 thì 
 ba điểm A, O và B thẳng hàng
B. Bài tập: A O B
Bài 1: Cho hai đường trịn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính 
AC và AD của hai đường trịn. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng.
 A
 Chứng minh: 
Ta cĩ: Gĩc ABC là gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn 
 O O'
 ABC = 90o
 Gĩc ABD là gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn C
 D
 ABD = 90o B
 A· BC A· BD C· BD 180o Ba điểm C, B, D thẳng hàng.
Bài 2: Cho ABC nội tiếp trong đường trịn (O), M là một điểm trên cung BC 
khơng chứa điểm A. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M trên BC, AC, AB.
Chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng.
 A
Chứng minh:
 Xét tứ giác MDBF, ta cĩ:
 · o O
 MDB 90 (vì MD  BC) E
 · o B D
 MFB 90 (vì MF  AB) C
 M· DB M· FB 180o
 F
 M Từ (1) và (2) suy ra F· ED F· CD
 Tứ giác CDFE nội tiếp 
b) Vì tứ giác CDFE nội tiếp, 
 mà E· CF 900 (do gĩc nội tiếp ACB chắn đường kính)
 E· DF E· CF 900
Mà A· DB 900 (gĩc nội tiếp chắn đường kính)
 E· DF E· DB 900 , hay ba điểm B, D, F thẳng hàng.
 4.5. Sử dụng tính chất đồng quy của ba đường trong tam giác:
* Tính chất: Trong một tam giác, ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba 
đường phân giác, ba đường trung trực thì đồng quy
* Bài tập: Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo; E 
là điểm đối xứng của A qua B; F là giao điểm của BC và ED; G là giao điểm của 
BC và OE; H là giao điểm của EC và OF. Chứng minh rằng ba điểm A, G và H 
thẳng hàng.
Chứng minh: E
* Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
 H
Nên OA = OC EO là trung tuyến của EAC.
Điểm E đối xứng với A qua B nên B là trung điểm B G
 F C
của EA. Suy ra CB là trung tuyến của EAC.
Điểm G là giao điểm của BC và EO, O
nên G là trọng tâm của EAC (1) A D
* Mặt khác ta cĩ: ABCD là hình bình hành nên AB//CD và AB = CD
 BE//CD và BE = CD BECD là hình bình hành.
 F là trung điểm của BC và ED
Ta cĩ OF là đường trung bình của BAC nên OF//AB 
 OH//AE, mà O là trung điểm của AC HE = HC
Do đĩ AH là đường trung tuyến của EAC (2) A· CE 90o
 PA và PC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại P 
 PA = PC (1) 
 PAC cân tại P
 P· AC P· CA
 · · o
 Mà: PAC AEC 90 E
 P· CA P· CE 90o C
 P
 P· AC P· CA P· EC P· CE M
 PEC cân tại P PC = PE (2) A B
 Từ (1) và (2) PA = PE H O
 EA  AB (vì EA là tiếp tuyến của (O)) 
 CH  AB (vì CH là đường cao của ABC) 
 EA // CH 
 * Gọi M’ là giao điểm của CH và BP 
 CM' BM'
 Trong BEP cĩ CM’ // EP = (3 )
 EP BP
 M'H BM'
 Trong BPA cĩ M’H// PA = (4 )
 PA BP
 CM' M'H
 Từ (3) và (4) = mà PE = PA (cmt) CM’ = M’H 
 EP PA
 Hay M’ là trung điểm của CH M’ trùng với M 
 Ba điểm B, M, P thẳng hàng.
Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn tâm O. BE và CF là các 
đường cao. Gọi H là giao điểm của BE và CF, M là trung điểm của BC, gọi K là 
điểm đối xứng với H qua M.
 a) Chứng minh BHCK là hình bình hành
 b) Chứng minh ba điểm A, O và K thẳng hàng A
 Chứng minh:
 a) Tứ giác BHCK là hình bình hành (cĩ hai đường E
 F
chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) H O
 b) BHCK là hình bình hành, suy ra BK//CF, KC//BE
 C
 Mà CF  AB, BE  AC B M
 K